盧仲毅 研究組 供稿?

無相互作用拓撲絕緣體的研究已經(jīng)非常充分了，對于描述這些拓撲物質(zhì)形態(tài)的拓撲不變量，如纏繞數(shù)、陳數(shù)、Z2不變量等，人們在理論和實驗上都了解得比較清楚。相比之下，對于相互作用下拓撲物態(tài)的性質(zhì)和分類，則有太多問題懸而未決。電子相互作用所引入的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，一方面使得體系本身變得復(fù)雜，另一方面卻往往可以涌現(xiàn)出更加豐富的物理現(xiàn)象。其中一個比較普遍的思路，就是電子相互作用可以使體系進入非平庸的拓撲物態(tài)，如相互作用導(dǎo)致的陳絕緣體或者具有拓撲序的自旋液體態(tài)。這方面的猜測性研究不少，但是通過定量的數(shù)值方法，結(jié)合理論分析，確定性地找到由相互作用所導(dǎo)致的拓撲物態(tài)，這樣的研究并不多見。

中國人民大學(xué)博士研究生鄔漢青、何院耀，盧仲毅教授，中國科學(xué)院物理研究所/北京凝聚態(tài)國家實驗室T03組孟子楊副研究員、方辰副研究員組成的團隊（下面簡稱該團隊），在相互作用導(dǎo)致陳絕緣體態(tài)的數(shù)值計算方面取得了進展[1]。該團隊提出了一種針對弱耦合區(qū)域相互作用導(dǎo)致的拓撲物態(tài)的通用診斷方案。利用嚴格對角化方法給出的本征值及本征波函數(shù)，結(jié)合點群操作算符的本征值和關(guān)聯(lián)函數(shù)信息，分析出體系熱力學(xué)極限的序參量對稱性和基態(tài)可能的拓撲數(shù)。根據(jù)這一方案，該團隊第一次從數(shù)值上給出了棋盤格子上具有最近鄰排斥相互作用的無自旋費米子模型中存在由相互作用導(dǎo)致陳絕緣體的支持性證據(jù)。這個工作最近發(fā)表在美國物理學(xué)會雜志的Physical Review Letters期刊上。

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圖1. (a) 具有C4對稱性的16個格點的棋盤格子。a1和a2為原胞基矢，t, t', t'' 為最近臨和次近鄰躍遷。(b) 無相互作用模型的能帶圖。二維情況下的二次型接觸點貢獻出有限的態(tài)密度。(c) 棋盤格子上相互作用模型的基態(tài)相圖, V 是相互作用參數(shù)。

如圖1. (a) 所示，棋盤格子模型哈密頓量具有最近鄰躍遷和兩種交錯排列的次近鄰躍遷。在無相互作用時，上下兩條能帶在布里淵區(qū)的M點上有一個二次型的接觸點(quadratic band crossing point, QBCP) [圖1. (b) 所示]。這個二次型接觸點受到C4點群和時間反演的共同保護。如果破壞時間反演但保持C4旋轉(zhuǎn)對稱性，例如加入圖1. (a) 中綠色箭頭所示的環(huán)路電流（這類似于在近鄰片 (plaquette) 內(nèi)加入交錯磁通，但體系總磁通量保持為零），則體系會在M點直接打開單粒子能隙，進入具有非零陳數(shù)的陳絕緣體態(tài)；相應(yīng)的，系統(tǒng)有整數(shù)化的量子霍爾電導(dǎo)和手征邊界態(tài)。反過來，如果加入保持時間反演但破壞C4對稱性的交錯在位勢能項，那么QBCP就會分裂成兩個狄拉克點反向地往X點移動；當(dāng)?shù)依它c在X點相遇時，打開能隙。

對于在這個模型中加入最近鄰排斥相互作用，單圈重整化群分析認為[2]，QBCP在相互作用下是不穩(wěn)定性的，具有手征邊緣態(tài)。而該研究團隊的數(shù)值結(jié)果確實發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在熱力學(xué)極限下，在弱相互作用區(qū)域就是處于一種由相互作用誘導(dǎo)自發(fā)產(chǎn)生電流環(huán)路的陳絕緣體態(tài)；該態(tài)破壞時間反演，具有手征邊界態(tài)；而在強相互作用區(qū)域則是處于一種電荷重新分布的格點向列序(site-nematic order)絕緣體；該態(tài)破壞C4晶體點群對稱性。圖1. (c) 給出了系統(tǒng)在相互作用下的完整相圖。

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圖2. (a) 嚴格對角化方法計算的16個格點模型的最低的四個本征能量隨相互作用改變情況,(b) 單粒子能隙和多體能隙隨相互作用的變化。

圖2. (a) 展示了系統(tǒng)最低的四個本征能量隨相互作用的變化情況。在 Vc / t ≈ 2.8處能級出現(xiàn)交叉。在交叉前，能級具有兩重簡并，互為時間反演共軛對的兩重簡并基態(tài)波函數(shù)構(gòu)成C4點群二維不可約表示的基函數(shù)，對應(yīng)C4操作的本征值分別為±i (見表1, V<Vc)。在一個有限尺寸體系和弱相互作用下，能夠證明對一個有能隙的系統(tǒng)，其基態(tài)波函數(shù)所攜帶的陳數(shù)與周期邊界條件下一些旋轉(zhuǎn)操作算符的本征值直接相關(guān)[3]: iC=ζ, ζ為C4操作算符本征值, C 是陳數(shù)。所以這兩個簡并態(tài)分別攜帶著C=1 mod 4、C= -1 mod 4的非零陳數(shù)。對于一個有能隙的體系，它的熱力學(xué)基態(tài)的拓撲數(shù)（包括陳數(shù)）都是唯一的，基態(tài)不會是具有不同陳數(shù)的多個量子態(tài)的線性疊加，因此在逼近熱力學(xué)極限的過程中，體系必然自發(fā)破缺時間反演對稱性，選擇具有某一確定陳數(shù)的基態(tài)作為熱力學(xué)基態(tài)，所以模型在弱相互作用的熱力學(xué)極限下是處于一個陳絕緣體態(tài)。這個絕緣體態(tài)也在圖2. (b) 的單粒子能隙打開情況下得到確認。該團隊也計算了環(huán)路電流的關(guān)聯(lián)函數(shù)所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)因子，如圖3. (a) 所示，它在弱相互作用區(qū)域具有一個寬峰，表明這種環(huán)路電流序在熱力學(xué)極限下可以穩(wěn)定存在。綜上，可以說明模型在熱力學(xué)極限下的弱相互作用區(qū)域是處于一個由自發(fā)形成的環(huán)路電流破壞時間反演的陳絕緣體態(tài)。

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??表1. 16個格點有限團簇計算的多體本征態(tài)的對稱性質(zhì)。SSB表示自發(fā)對稱性破缺。

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而在強相互作用區(qū)域，有限尺寸體系的兩個近簡并基態(tài)構(gòu)成C4點群的一維表示。它們所攜帶的陳數(shù)可以通過基態(tài)波函數(shù)對邊界纏繞相位的線性響應(yīng)計算得到。該團隊發(fā)現(xiàn)它們的陳數(shù)都為零 (見表1，V>Vc)，在拓撲上是平庸的態(tài)。而它們的C4本征值符號相反，但是C2操作算符的本征值相同。考慮到兩個相同陳數(shù)的態(tài)在熱力學(xué)極限下可以線性組合，那么強相互作用區(qū)域的熱力學(xué)極限態(tài)應(yīng)該是一種破壞C4對稱性但保留C2對稱性的一種絕緣體態(tài)。通過A和B子格電荷密度差的結(jié)構(gòu)因子的計算，該團隊確認了這種絕緣體相是破壞C4對稱性的格點向列序型絕緣體態(tài)。

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??圖3.? 環(huán)路電流結(jié)構(gòu)因子 (a) 和格點向列序結(jié)構(gòu)因子 (b) 隨著相互作用和系統(tǒng)尺寸的變化情況。

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從領(lǐng)域的發(fā)展來看，2008年S. Raghu 等人首先建議蜂巢晶格上可能存在相互作用導(dǎo)致陳絕緣體 [4]。然而近幾年來，這一個猜想受到了不少理論和數(shù)值研究的質(zhì)疑，相互作用導(dǎo)致陳絕緣體一直沒有被發(fā)現(xiàn)。這是因為二維系統(tǒng)的狄拉克點在弱短程電子-電子相互作用下是穩(wěn)定的，所以無質(zhì)量的狄拉克費米子能夠在一個有限的臨界相互作用前存在。超出了弱耦合區(qū)域，平均場和單圈重整化群方案的結(jié)果是不可靠的，其他可能的長程序與陳絕緣體相強烈競爭。而在工作 [1] 中，相互作用導(dǎo)致陳絕緣體被成功發(fā)現(xiàn)，這是因為工作 [1] 研究的模型具有二次型接觸的能帶，費米面處有有限的態(tài)密度，短程相互作用是略微相關(guān)的，而且QBCP的動態(tài)臨界因子z=2，也就是QBCP點處低能有效維度為d+z=4。根據(jù)朗道-金茲堡判據(jù)，平均場分析結(jié)果是可靠的，該團隊的嚴格對角化數(shù)值結(jié)果和點群操作算符的本征值和關(guān)聯(lián)函數(shù)信息的分析，成功地確認了相互作用導(dǎo)致陳絕緣體，推動了相互作用拓撲物態(tài)領(lǐng)域繼續(xù)向前發(fā)展。此外，該團隊所發(fā)展的數(shù)值診斷方案（嚴格對角化數(shù)和點群操作算符的本征值分析）是通用的，可以推廣到其他體系的弱耦合區(qū)域相互作用導(dǎo)致的拓撲量子物態(tài) (例如量子自旋霍爾絕緣體，p+ip超導(dǎo)等) 的探測中。

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這項工作得到了國家自然科學(xué)基金和國家基礎(chǔ)科學(xué)研究計劃（鄔漢青、何院耀、孟子楊、盧仲毅），國家青年千人計劃、科技部國家重點研發(fā)計劃（方辰、孟子楊）的支持。嚴格對角化方法所需的并行計算在中國人民大學(xué)物理系高性能并行計算物理實驗室，中國科學(xué)院物理研究所量子科學(xué)模擬中心，國家超級計算廣州中心天河2號等計算平臺上完成。

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??[1] H. -Q. Wu, Y. -Y. He, C. Fang, Z. Y. Meng and Z. –Y. Lu, Phys. Rev. Lett. 117, 066403 (2016).

??[2] K. Sun, H. Yao, E. Fradkin, and S. A. Kivelson, Phys. Rev. Lett. 103, 046811 (2009).

??[3] C. Fang, M. J. Gilbert, and B. A. Bernevig, Phys. Rev. B 86, 115112 (2012).

??[4] S. Raghu, X.-L. Qi, C. Honerkamp, and S.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 100, 156401 (2008).